數(shù)學(xué)問題的解決是學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，它是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一條重要途徑。面對(duì)一道實(shí)際生活中的圖形與空間的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的思維活動(dòng)會(huì)經(jīng)歷一個(gè)特定的、程式化的過程。在此過程中，學(xué)生從弄清問題、明確目標(biāo)到尋找方法、解決問題，盡管我們外人似乎無法看到學(xué)生的內(nèi)在思維過程，但整個(gè)思維過程是真實(shí)地存在于學(xué)生的頭腦中的。當(dāng)我們靜心研究學(xué)生數(shù)學(xué)思維的具體過程，我們還是能夠把握學(xué)生思維的過程，并從中想辦法解決學(xué)生思維過程中存在的種種問題，不斷培養(yǎng)學(xué)生思維活動(dòng)的良好品質(zhì)。下面是我在教學(xué)關(guān)于體積問題的練習(xí)課上時(shí)的具體情景：
一、我給學(xué)生們出了下面一道習(xí)題：
在一個(gè)長24厘米，寬9厘米，高8厘米的長方形水槽中注入6厘米深的水，然后放入一個(gè)棱長6厘米的正方體鐵塊，水面上升了多少厘米？
因?yàn)檫@是學(xué)完長方體、正方體體積計(jì)算后的練習(xí)課，所以對(duì)班里絕大部分學(xué)生來說，是第一次見到此類體積問題。盡管如此，我并沒有給予學(xué)生相應(yīng)的提示，而是讓學(xué)生們進(jìn)行自主探索、嘗試解答。10分鐘后，學(xué)生們相繼解決了這個(gè)問題，當(dāng)然還是有一部分學(xué)生存在困難，仍在冥思苦想而不得其解。從學(xué)生的交流討論中可以看出學(xué)生具體做出了以下一些思考：
1．讀了題目之后，明確了題中的條件、已知數(shù)，弄清了要求的問題。從表面上看，學(xué)生已經(jīng)知道了條件和問題，其實(shí)還只是文字層面的。
2．根據(jù)平常生活中的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)鐵塊放入水中時(shí)，水面就上升了。
3．水在有形的容器中也是有形的，上升的高度其實(shí)就是什么呢？就是上升的‘長方體水形’的高度。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)弄清楚了問題的實(shí)質(zhì)。
4．要求長方體的高，這是一個(gè)與體積有關(guān)的問題。長方體的體積÷底面積=高，這是一個(gè)重要的公式。然而，上升的水的體積是多少呢？
5．上升的水的體積也就是放入鐵塊的體積，這樣就找到了一個(gè)至關(guān)重要的關(guān)系。
6．正方體鐵塊的體積可由棱長×棱長×棱長求得，這也就是上升的水的體積。
7．上升的水的體積（即鐵塊的體積）÷水槽底面積=水上升的高度。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)在頭腦中實(shí)現(xiàn)了體積的轉(zhuǎn)化，找到了解決問題的好辦法。
面對(duì)一個(gè)新問題，學(xué)生依照解決問題的基本思路，進(jìn)行分析思考，運(yùn)用相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)基礎(chǔ)，成功地找到了解決新問題的方法。
二、在后來的期末復(fù)習(xí)課中，我再次拿出了這道習(xí)題，并在其中做了一個(gè)小手腳，形成了“一數(shù)之差”：
在一個(gè)長24厘米，寬9厘米，高8厘米的長方形水槽中注入4厘米深的水，然后放入一個(gè)棱長6厘米的正方體鐵塊，水面上升了多少厘米？
學(xué)生一看到這題，似曾相識(shí)，毫不猶豫地解答起來，由于已經(jīng)有了上次成功的解答經(jīng)歷，這次解題可以說是毫不費(fèi)勁，一會(huì)兒工夫都做完了。學(xué)生的解答過程都如下：6×6×6÷（24×9）=1厘米
解答思路仍是：上升的水的體積（即鐵塊的體積）÷水槽底面積=水上升的高度。然而“水面上升1厘米”這個(gè)答案恰恰是錯(cuò)誤的。學(xué)生們的答題情況是在我意料之中的。怎樣讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)答案是錯(cuò)誤的？是直接指出，還是學(xué)生通過反思自己主動(dòng)意識(shí)到呢？我采取了后者。因?yàn)樵谝淮瓮暾慕忸}過程中，自我回顧反思也是必不可少的，而這一個(gè)環(huán)節(jié)往往是學(xué)生們所忽略的，借此機(jī)會(huì)正好可以讓學(xué)生體會(huì)到回顧反思的重要性。讓學(xué)生們反思什么呢？為了引領(lǐng)學(xué)生的思路，我提出這樣一個(gè)問題：上升后水面有多高，你們發(fā)現(xiàn)了什么？
學(xué)生們討論開了：“上升后水面高度為5厘米（4＋1）。鐵塊的高度是6厘米，鐵塊并沒有被水浸沒。上升的水的體積并不是鐵塊的全部體積，再用鐵塊的體積去除容器的底面積就不對(duì)了?！?SPAN lang=EN-US>
那又該如何解決這個(gè)新問題呢？首先還是要重新認(rèn)識(shí)問題，要從生活與數(shù)學(xué)的角度的還原出問題。我提問：既然沒有浸沒鐵塊，那么想象一下，這是怎樣的一種形態(tài)？
學(xué)生討論交流：“能不能把它看作是一種特別的容器，它的底面形狀變成怎樣的了？容器的底面積變小了，變成24×9－6×6=180平方厘米了。在這個(gè)特別的容器中水的高度是多少呢？水的總體積沒有變化，只是底面積變了，根據(jù)體積÷底面積就可算出現(xiàn)在水的高度了。上升的高度可以用后來水的高度減去原來水的高度求得?！?SPAN lang=EN-US>
至此，新問題的解決方案已經(jīng)基本擬定了，接下來就是學(xué)生去實(shí)施計(jì)劃、解決問題了。解決問題后，我再次引導(dǎo)學(xué)生回顧整理解題過程：這個(gè)問題與原來的問題有什么本質(zhì)區(qū)別？
學(xué)生們反思道：“最根本的區(qū)別是水有沒有浸沒鐵塊。浸沒的情況可以用上升水的體積÷原來容器的底面積求得答案。沒浸沒的情況下可以把容器想象成一個(gè)特殊容器，求出后來水面的高度，再減去原來高度就是上升的高度?！?SPAN lang=EN-US>
從上述兩個(gè)表面上相似的問題的解決過程中看，我們數(shù)學(xué)教師是能夠把握學(xué)生的思維脈搏的，當(dāng)我們不斷引導(dǎo)學(xué)生弄清問題、分析問題時(shí)，還能夠有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。
當(dāng)學(xué)生通過對(duì)比意識(shí)到原來的解題計(jì)劃存在問題后，就重新對(duì)問題的條件進(jìn)行了分析。在擬定新計(jì)劃的過程中，轉(zhuǎn)化思想發(fā)揮了決定性的作用，當(dāng)學(xué)生想象著“原來的容器形狀變了樣，底面積變小了”時(shí)，一條新的解題思路也就逐漸形成了，他們找到了一個(gè)好念頭。
其實(shí)，學(xué)生思維的各種良好品質(zhì)是相輔相成、相互促進(jìn)的，良好的思維品質(zhì)必定會(huì)促進(jìn)思維能力的大幅提高。數(shù)學(xué)教師肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重任，這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中悉心鉆研、精心設(shè)計(jì)、巧妙引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維水平的全面提升。